¿Podría la teoría de la relatividad aplicarse a carreteras?

La invariancia de la velocidad de la luz fue formulada por Albert Einstein dentro de su teoría de la relatividad especial en una de sus seis publicaciones de 1905, su annus mirabilis. Este principio viene a decir que, para velocidades próximas a la de la luz, el tiempo se dilata y el espacio se contrae.

Quizá algún viajero observador haya advertido al recorrer la A-2 entre Alcolea del Pinar y Guadalajara que las diferencias de distancias entre Guadalajara y Madrid indicadas por los paneles informativos de la autovía no se mantienen constantes, sino que varían. Entonces, ¡¡¿¿Madrid y Guadalajara cambian de posición relativa??!! Este hecho puede incluso llevarnos a plantearnos cuestiones sobre nuestro viaje en términos relativistas: "¡Circulaba tan rápido que el espacio se ha contraído!" Huelga decir que nada más lejos de la realidad, sino que solo se busca una introducción llamativa para este curioso hecho.

Los paneles se encuentran a continuación de cada acceso a la autovía, a poca distancia. La tabla 1 recoge la información proporcionada en cada uno de ellos.

Tabla 1. Distancias indicadas a Guadalajara y a Madrid, en km.

Punto kilométrico	Guadalajara	Madrid	Diferencia
132,2	76	132	56
125,4	70	125	55
122,9	67	123	56
118,0	58	118	60
114,1	56	114	58
110,5	51	111	60
106,0	46	106	60
92,8	35	93	58
88,2	33	89	56
82,3	25	83	58
72,5	16	72	56
68,7	13	69	56
63,9	8	64	56

Las figuras 1 y 2 muestran los paneles que indican distancias cuyas diferencias son mínima y máxima respectivamente. Corresponden a los casos de las filas 2 y 4 de la tabla 1.

Figura 1. En este punto, la distancia indicada entre Guadalajara y Madrid es mínima: 55 km.

Figura 2. En este caso, la diferencia de distancias llega a su máximo: 60 km.

Si volvemos a la tabla 1, se observa como las distancias a Madrid son consistentes con el punto kilométrico. Pero esto no implica que sea una indicación fiable. Los hitos kilométricos pueden usarse como un indicador orientativo rápido para calcular la distancia que nos queda hasta nuestro destino, siempre y cuando conozcamos a qué altura de la carretera se encuentra tal lugar. No obstante, con las sucesivas actuaciones sobre el trazado de la carretera, las distancias recorridas han variado. Pero no se recolocan los hitos kilométricos cada vez que el trazado ve alterada su longitud sino que, en el tramo en variante (el que ha visto su longitud alterada), los hitos se reubican en posiciones que varían proporcionalmente con la variación de la longitud del tramo en variante con respecto al antiguo.

La antigua N-II partía de la Puerta del Sol de Madrid, discurriendo por la Calle Alcalá de la capital; la Avenida de Castilla y Avenida de la Constitucción de Torrejón de Ardoz; y Avenida de Madrid y Vía Complutense de Alcalá de Henares. Hoy en día todos esos tramos se han abandonado como parte del itinerario principal. De hecho, seguir este itinerario con exactitud no es posible en la actualidad debido a los nuevos accesos a la autovía, pero respondería a una longitud de 56 km (distancia real y no hitos kilométricos). Por otra parte, el itinerario principal desde que se abandona la actual A-2 para acceder al centro de Guadalajara hasta Madrid, menos el recorrido por el núcleo arriacense, abarca 59 km. Estos dos itinerarios ayudan a explicar la práctica totalidad de la variabilidad de distancias indicadas por los paneles. Pequeñas variantes podrían contemplarse para esbozar otros itinerarios, no detallados aquí para no aburrir al lector, que explicarían las distancias de 58 km y 60 km. Sin embargo, los 55 km de diferencia mínima aún son una incógnita. Algunos posibles itinerarios se representan en la Figura 3. ¡Ojo, el mapa muestra datos de tráfico en tiempo real!

Figura 3. Itinerario actual desde la salida de Guadalajara centro hasta la Puerta del Sol de Madrid.

Por tanto parece que las diferencias pueden achacarse a los proyectistas que diseñaron la señalización de cada tramo atendían a criterios diferentes para estimar las distancias sobre el itinerario y no es la pericia del conductor, obviamente, la que lleva a la contracción del espacio.

Por último cabe indicar que este defecto se produce en algún tramo más de la red de carreteras de España, aunque no de manera tan manifiesta. A continuación se muestra otro ejemplo, en este caso correspondiente a las distancias relativas entre Aranda de Duero y Burgos.

Figura 4. Panel informativo donde la distancia entre Aranda de Duero y Burgos resulta 81 km.

Figura 5. Panel en el que la diferencia de distancias a Aranda de Duero y a Burgos es 79 km.

Un problema sencillo de optimización de redes

Dado que los recursos son limitados, en cualquier sistema se presentan situaciones donde es necesario alcanzar óptimos de diseño o explotación. En esta entrada quisiera plantear un problema clásico de topología aplicado a la ingeniería del transporte, con algunos conceptos matemáticos sencillos, dejando con ello la puerta abierta a profundizar para aquéllos a quienes les despierte curiosidad y deseen investigar en materia de algoritmos, matemáticas, etc.

Supongamos, de manera genérica, que debemos diseñar una red vial para conectar cuatro núcleos de idéntica importancia ubicados en los vértices de un cuadrado, y que están inmersos en un espacio isotrópico bidimensional, es decir, un plano donde todas las propiedades son iguales en cualquier dirección. La única restricción impuesta es que la longitud total de dicha red sea mínima.

En primera instancia se nos ocurren múltiples soluciones posibles. Observando la Figura 1, tendríamos una primera solución (color rojo). Sin pérdida de generalidad podríamos suponer la longitud del lado del cuadrado igual a 1, con lo que esa alternativa inicial tendría una longitud de red igual a 3. Otra solución posible es la planteada en color amarillo donde, con la misma longitud de red que en la roja, se reduce la distancia de trayecto del caso más desfavorable de 3 a 2 unidades. Finalmente todos llegaríamos a la conclusión de que hay un diseño de red óptimo en forma de equis, como muestra el grafo verde de la parte inferior derecha de la Figura 1. Haciendo un número rápido para obtener la longitud de red, el resultado es 2·√2 ≈ 2.828.

Figura 1. Primeras soluciones para el diseño de la red viaria.

No obstante la solución óptima no es ninguna de las anteriores. Hay una configuración geométrica cuya longitud total es menor (Figura 2) y que se asemeja a una doble Y. En este último caso, resolviendo el problema trigonométrico se llega sin dificultad al resultado: una longitud de 1+√3 ≈ 2.732. Como vemos se ha acortado la distancia total sensiblemente, alcanzando el valor óptimo.

Figura 2. Solución óptima con longitud mínima de red.

Este problema matemático de optimización combinatoria se conoce como Problema de árbol de Steiner, para el que existen diversos métodos de resolución. En configuraciones complejas se prestan muy bien para su resolución mediante algoritmos heurísticos, capaces de explorar soluciones más allá de óptimos locales como los de la Figura 1.

Aunque este problema planteado se ha desarrollado en un contexto teórico idealizado, ciertamente es posible encontrar este patrón en redes viarias existentes. En ocasiones es necesario unificar corredores para dos o más rutas por motivos diversos (coste de construcción y explotación, orografía, impacto ambiental, etc.). En concreto, se exhiben a continuación ejemplos en la red de carreteras en España con ánimo exclusivamente ilustrativo. En primer lugar, la Figura 3 muestra la forma de doble Y de la red de carreteras entre las ciudades de Córdoba, Jaén, Granada y Lucena.

Figura 3. Ejemplo de la red de carreteras en Andalucía.

En la Figura 4 se representa la conexión entre Lugo, León, Benavente y Orense, con un extenso tramo común.

Figura 4. Ejemplo de la zona noroeste (Castilla y León y Galicia).

Por último, en la Figura 5 puede observarse otro ejemplo de patrón en doble Y con un corredor común para conectar las localidades de Aranda de Duero, Soria, Almzán y Segovia.

Figura 5. Ejemplo de la red de carreteras en Castilla y León.

Por supuesto, la red es mucho más compleja (afortunadamente) que aquellas conexiones que se muestran y las conexiones perimetrales de los ejemplos dados tienen otras alternativas más ventajosas. No obstante los trayectos diagonales sí se efectúan normalmente por las vías resaltadas.